計算機科学

数値解析


はじめに

  • 製品開発などの工学分野における様々な計算は、解析的に解くことが不可能な場合が多い。そのような計算に対して近似解を与える数学的なアプローチの一つとして、数値解析法と呼ばれる方法がある。コンピュータを使用できる現在では、膨大な計算量の天体や気象シミュレーションも数値解析を基本としており、非常に重要な分野である。

誤差

  • ここでは誤差の一般的な定義や、有限状態機械において発生する誤差について扱う。

誤差の定義

  • 真値と近似値
    • 有限状態機械の内部では、実数等の値は近似値として丸められる。丸められる前の値を真値と呼ぶ。
  • 誤差
    • ある真値をx、近似値をx'とすると、誤差eとその絶対誤差|e|は以下のように表現される。
      • e = x'-x
      • |e| = |x'-x|
    • また誤差と真値の比である相対誤差は以下のように表現される。
      • e_{r} = \frac{e}{x}

誤差の種類

  • 打ち切り誤差
    • 自然対数や三角関数等をテイラー展開した場合に、冪級数を有限項で打ちきった場合に発生する誤差
  • 丸め誤差
    • 0.1などの数をIEEE形式で表す場合、有限の桁数で表現される。この際に発生する誤差。
  • 桁落ち
    • 近接する数同士の減算により有効桁数が失われる現象
  • 誤差伝搬
    • 実数の加減乗除によって計算過程に用いる数の誤差が伝搬すること

非線形方程式

  • ここでは数値的に非線形方程式f(x) = 0の解を求める方法を扱う
  • 幾何的に言えば、2次元平面上に於いてx軸との交点を求めることと等しい
  • 解の探索の方法によって、主に2種類に分類される
    • 直接探索法
      • 根が存在する範囲がなんらかの方法でわかっている場合
      • 存在範囲を探索しながら狭め、求める根に収束させる
      • 収束の度合いは比較的遅い
    • 逐次近似法
      • はじめに近似値が与えられる場合
      • 与えられた近似値を基に、より精度のよい解を反復式によって求める
      • 根に収束するためにはある条件を満たす必要があり、常に解が求められる保証は無い

2分法(Bisection Method)

割線法(Secant Method)

ニュートン・ラフソン法(Newton-Raphson Method)

ベイリー法

連立非線形方程式

  • m個の未知変数からなるm元連立非線形方程式の数値解法を扱う。

ニュートン法

参考文献

  • [1] 川崎晴久 : C&FORTRANによる数値解析の基礎, 共立出版, 1993
  • [2] 堀之内総一, 酒井幸吉 : 数値計算法入門―パソコン利用による, 森北出版, 1993
  • [3] 新濃清志, 船田哲男 : 数値解析の基礎―理論とPAD・PASCAL・C, 培風館, 1991

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Last-modified: 2010-01-08 (金) 02:13:39 (4305d)