工学

電気回路 †

↑

交流回路 †

  • 回路記号の定義
    名前記号名前記号
    抵抗R抵抗両端の交流電圧v_R(t)
    コイル(インダクタ)Lコイル両端の交流電圧v_L(t)
    コンデンサ(キャパシタ)Cコンデンサ両端の交流電圧v_C(t)
    交流電圧v(t)抵抗に流れる交流電流i_R(t)
    交流電流i(t)コイルに流れる交流電流i_L(t)
    交流電圧の実効値Vコンデンサに流れる交流電流i_C(t)
    交流電流の実効値I抵抗両端の交流電圧の複素数表示\dot{V}_R
    交流電圧の複素数表示\dot{V}コイル両端の交流電圧の複素数表示\dot{V}_L
    交流電圧の複素数表示\dot{I}コンデンサ両端の交流電圧の複素数表示\dot{V}_C
    複素インピーダンス\dot{Z}抵抗に流れる交流電流の複素数表示\dot{I}_R
    複素アドミタンス\dot{Y}コイルに流れる交流電流の複素数表示\dot{I}_L
    コンデンサに流れる交流電流の複素数表示\dot{I}_C

↑

Rのみの回路 †

  • 電圧\dot{V}と回路に流れる電流\dot{I}の位相は同相である。
↑

Lのみの回路 †

  • 電圧\dot{V}に比べ回路に流れる電流\dot{I}の位相は遅れ位相である。位相差は-\frac{\pi}{2}である。
  • 電流基準で考えると、電流\dot{I}に比べ電圧\dot{V}の位相は進み位相である。位相差は\frac{\pi}{2}である。
↑

Cのみの回路 †

  • 電圧\dot{V}に比べ回路に流れる電流\dot{I}の位相は進み位相である。位相差は\frac{\pi}{2}である。
  • 電流基準で考えると、電流\dot{I}に比べ電圧\dot{V}の位相は遅れ位相である。位相差は-\frac{\pi}{2}である。
↑

RL直列回路 †

  • \dot{V} = \dot{V}_R + \dot{V}_Lとなる。
  • \dot{V}_Rと\dot{I}の位相は同相である。
  • \dot{I}と\dot{V}_Lの位相差は\frac{\pi}{2}である。
  • よって\dot{I}と\dot{V}の位相差は\tan^{-1}(\frac{\dot{V}_R}{\dot{V}_L})である。(0\leq{}\theta{}\leq{}\frac{\pi}{2})
↑

RC直列回路 †

  • \dot{V} = \dot{V}_R + \dot{V}_Cとなる。
  • \dot{V}_Rと\dot{I}の位相は同相である。
  • \dot{I}と\dot{V}_Cの位相差は-\frac{\pi}{2}である。
  • よって\dot{I}と\dot{V}の位相差は\tan^{-1}(\frac{\dot{V}_R}{\dot{V}_C})である。(-\frac{\pi}{2}\leq{}\theta{}\leq{}0)
↑

RLC直列回路 †

↑

RL並列回路 †

↑

RC並列回路 †

↑

RLC並列回路 †

↑

交流理論 †

  • 交流理論とは交流回路における定常状態を求める手法の一つである。交流回路においては微分方程式により回路が表現されるので実数解を求めるにあたり、代数計算であるオームの法則が適用できない。しかし正弦波に対してオイラーの公式を適用することにより、微分方程式を代数計算で求めることが可能となる(厳密に言うなら、回路が線形であること、入力信号が正弦波であることなど、制約はある)。なお定常解と過渡解の両方を求める方法としてラプラス(Laplace)変換がある。
  • RLC直列回路を交流理論で解く
    • 交流電圧v(t), 交流電流i(t)と定義すると、RLC直列回路の微分方程式は以下になる。
      • L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{1}{C}\int{}idt = v
    • 常套手段としては、v(t) = \sqrt{2}V_e\sin{\omega{}t}, 交流電流i(t) = \sqrt{2}I_e\sin{(\omega{}t+\theta)}と仮定した後、両辺をtで微分して変数分離法などでi(t)に関して式を整理したりするが、ここでは以下のように交流電圧と交流電流の仮定をオイラーの公式によって置き換える。
      • v(t) = \sqrt{2}V_eIm[e^{j\omega{}t}], i(t) = \sqrt{2}I_eIm[e^{j(\omega{}t+\theta)}]
    • ここでIm[]は複素数の虚部を取り出す操作である。しかし操作の性質により、以下の計算過程ではIm[]を省略し、最終的に求めた解に対してIm[]の操作を行う。
      • j\omega{}L\sqrt{2}I_ee^{j(\omega{}t+\theta)}+R\sqrt{2}I_ee^{j(\omega{}t+\theta)}+\frac{1}{j\omega{}C}\sqrt{2}I_ee^{j(\omega{}t+\theta)} = \sqrt{2}V_ee^{j\omega{}t}
    • 両辺を\sqrt{2}e^{j\omega{}t}で割ると
      • I_e(R+j\omega{}L+\frac{1}{j\omega{}C})e^{j\theta} = V_e
      • I_e = \frac{V_e}{R+j(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})}e^{-j\theta}
    • 分母の複素数を指数関数に直すと
      • = \frac{V_e}{\sqrt{R^2+(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})^2}e^{j\phi}}e^{-j\theta}
      • = \frac{V_e}{\sqrt{R^2+(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})^2}}e^{-j(\theta+\phi)}　, \phi = \tan^{-1}{\frac{\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C}}{R}}
    • 上記I_eは実数で位相は定義されないので\theta+\phi=0となる。
      • = \frac{V_e}{\sqrt{R^2+(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})^2}}
    • よってI_e及び\thetaが求まったので仮定した交流電流に代入する。
      • i(t) = I_eIm[e^{j(\omega{}t+\theta)}]
      • = \frac{V_e}{\sqrt{R^2+(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})^2}}Im[e^{j(\omega{}t+\theta)}]
      • = \frac{V_e}{\sqrt{R^2+(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})^2}}\sin{(\omega{}t+\theta)} , \theta = -\tan^{-1}{\frac{\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C}}{R}}
    • となる。
↑

フェーザ法 †

  • フェーザ(Phasor)法とは交流理論において複素ベクトルであるフェーザを導入することにより、微分方程式の代数計算を可能とする記号法の一つである。
    • 交流理論を用いることにより微分及び積分の計算をj\omegaの乗除算で置き換えが可能となる。よって交流電圧や交流電流を特徴づけるパラメータとして実効値V_e及び初期位相\thetaが重要となる。
    • 電圧と電流のフェーザとして、複素電圧\dot{V} = V_ee^{j\theta}及び複素電流\dot{I} = I_ee^{j\theta}を導入する(ちなみに複素電圧の位相を基準とした場合、\dot{V} = V_ee^{j0}=V_eとなる)。交流電圧及び交流電流の定義より
      • v(t) = \sqrt{2}Im[\dot{V}e^{j\omega{}t}], i(t) = \sqrt{2}Im[\dot{I}e^{j(\omega{}t+\theta)}]
    • となる。ここでIm[]の性質や交流理論の計算より、\sqrt{2}Im[e^{j\omega{}t}]は省略可能である。よって、解を求めるには複素電圧\dot{V}及び複素電流\dot{I}に関して代数計算を行えば良いことを示している。最後に求まる解も複素電圧や複素電流であるが、正確な正弦波及び位相を求める場合には、省略した\sqrt{2}Im[e^{j\omega{}t}]を戻すことにより求まる。(ただしフェーザ法を使うことにより、回路の特性は複素電圧及び複素電流、複素インピーダンスの大きさと位相で解析が可能)。
  • RLC直列回路をフェーザ法で解く
    • v(t) = \dot{V}, i(t) = \dot{I}より
      • L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{1}{C}\int{}idt = v
      • j\omega{}L\dot{I}+R\dot{I}+\frac{1}{j\omega{}C}\dot{I} = \dot{V}
      • \dot{I} = \frac{\dot{V}}{R+j(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})}
    • 以上がフェーザ法による解である。ちなみに等式変形をすると
      • \frac{\dot{V}}{\dot{I}} = R+j(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C}) = \dot{Z}
    • となり、電流と電圧の比になっている。交流理論では直流回路における抵抗に相当する\dot{Z}を、複素インピーダンスと定義することにより、交流回路においてもオームの法則が適用できることを示している。
    • 求めた\dot{I}から複素電流の大きさ実効値I_e及び初期位相\thetaを求めると
      • \dot{I} = |\dot{I}|e^{jarg(\dot{I})}
      • = \frac{V_e}{\sqrt{R^2+(\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C})^2}}e^{j\theta}, \theta = -tan^{-1}{\frac{\omega{}L-\frac{1}{\omega{}C}}{R}}
    • となる。
↑

アナログフィルタ †

↑

カットオフ周波数(遮断周波数) †

  • カットオフ周波数とは、伝達関数の振幅特性が-3dB低下した位置の周波数である。これは振幅比が\frac{1}{\sqrt{2}}である事と、ほぼ等しい。
トップ   編集 凍結 差分 バックアップ 添付 複製 名前変更 リロード   新規 一覧 単語検索 最終更新   ヘルプ   最終更新のRSS
Last-modified: 2009-06-18 (木) 15:59:02 (5420d)