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数学


線形代数

  • 線型代数の公式や考え方について。

微分方程式

  • 微分方程式の解法な諸定理に関して。

フーリエ解析

  • フーリエ級数やフーリエ変換に関して。

複素解析

  • 基本的な複素数に関する事柄や、コーシーの積分定理、積分公式、留数の定理など。

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線形及び非線形とは

  • 一般的にある関数が線形であるとは、任意のx,y,aに対して以下の性質を満たすことである。
    • f(x+y) = f(x)+f(y)
    • f(ax) = af(x)
  • 注意したい点として、文脈によって線形の意味が異なることである。例として上記の定義から、y = ax+bは線形ではない。しかし2次元平面上へ関数を描くと、xとyは比例関係となっており、これも線形と言う。同様に指数関数を片対数グラフや両対数グラフへ描画すると、xとyの関係が線形となる場合もある。しかしこれらはxとyの関係が線形なのであって、対象とする関数が線形であるという意味ではない。

同次及び非同次

  • 以下のような連立方程式について考える。
    • \left\{\begin{array}{c} ax+by=p & cx+dy=q \end{array}
  • 変数x及びyに関して、上記の連立方程式の左辺の各項の次数は1次である。ここで右辺の定数p及びqが0である場合、方程式に現れる各項全ての次数が1次となる。これを同次と言う。
  • 一方、定数p及びqが0で無い場合、次数は0次となるので方程式に現れる各項の次数が1次と0次の二種類となる。これを非同次と言う。
  • よって方程式に現れる各項の次数によって性質が大きく異なる。例えば連立方程式では同次連立一次方程式、非同次連立一次方程式などがあり、微分方程式では名称が様々あるが、同次線形微分方程式、非同次線形微分方程式などである。

三角関数の法則と性質

  • \sin{(\theta+\frac{\pi}{2})} = \cos{\theta}\cos{(\theta+\frac{\pi}{2})} = -\sin{\theta}
    • この性質は通常は単位円(r=1)上での第1象限での\sin{\theta} = \frac{y}{r}\cos{\theta} = \frac{x}{r}の定義を拡張し、90度加算した第2象限の座標(-y,x)から求められる。
    • しかし波形的な意味の考察から、90度加算することは微分操作と等しいことがわかる。なので\sin{(\frac{\pi}{2}+\theta)} = \frac{d}{d\theta}\sin{\theta} = \cos{\theta}\cos{(\frac{\pi}{2}+\theta)} = \frac{d}{d\theta}\cos{\theta} = -\sin{\theta}である。ただし\tan{\theta}では成り立たない。
    • 同様に90度減算することは積分操作に等しいこともわかる。
      • \sin{(\frac{\pi}{2}-\theta) = \sin{(-(-\frac{\pi}{2}+\theta))}} = -\sin{(-\frac{\pi}{2}+\theta)} = -\int{\sin{\theta}d\theta} = \cos{\theta}

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Last-modified: 2011-08-04 (木) 06:27:28 (2545d)