数学/複素解析

数学

複素解析 †

複素関数の微分 †

微分係数 †

• 複素関数について
  • 
• 上記式がのどのような近づけ方でも収束するとき、複素関数はで微分可能であるという。
• また、そのときの極限値をにおける微分係数といい、と表記する。

正則関数 †

• がを含むどんな近傍の点においても微分可能であるとき、はで正則であるという。
• が領域D内の全ての点で微分可能であるとき、領域Dで正則であるといい、は領域Dで正則関数という。

複素関数の積分 †

コーシーの積分定理 †

• 単純閉曲線Cで囲まれた内部の領域をDとする。複素関数が、C及びその内部Dで正則、かつその導関数が連続の場合、以下の式が成り立つ。
  • 

グルサの定理 †

• 複素関数が単純閉曲線Cとその内部Dで正則ならば、は全ての次数の導関数をもち、それらも全て正則である。
• また、D内の任意の点について、以下の式が成り立つ。
  • 

ローラン展開とローラン級数 †

• 関数が円環領域で正則であるとき、円環領域内の点zに対しては次のように展開される。
  • 
    ( )
• これを中心のローラン展開と言う。
• また、関数の特異点の解析を行う為に以下のように等式変形を行う。
  • 
    ( , )
• ここで上記の第1項はテーラー展開と同じであるが、第2項の方を主部と言う。簡単に言えば、円も含んだ形となっている円の領域内の全ての点zに対して正則である場合、第1項のみが残り、テーラー展開と一致する。