[[vNull Wiki]]

*数学 [#t18e996b]
#contents
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**[[フーリエ解析>数学/フーリエ解析]] [#j77590d6]
-フーリエ級数やフーリエ変換に関して。

**[[複素解析>数学/複素解析]] [#ybd92e9a]
-基本的な複素数に関する事柄や、コーシーの積分定理、積分公式、留数の定理など。

**未分類 [#t42d3a6f]

***線形及び非線形とは [#d25175b0]
-一般的にある関数が線形であるとは、任意の$ x,y,a $に対して以下の性質を満たすことである。
--$ f(x+y) = f(x)+f(y) $
--$ f(ax) = af(x) $
-注意したい点として、文脈によって線形の意味が異なることである。例として上記の定義から、$ y = ax+b $は線形ではない。しかし2次元平面上へ関数を描くと、xとyは比例関係となっており、これも線形と言う。同様に指数関数を片対数グラフや両対数グラフへ描画すると、xとyの関係が線形となる場合もある。しかしこれらはxとyの関係が線形なのであって、対象とする関数が線形であるという意味ではない。


***同次及び非同次 [#d97dad31]
-以下のような連立方程式について考える。
--$ \left\{\begin{array}{c} ax+by=p &   \\ cx+dy=q \end{array} $
-変数x及びyに関して、上記の連立方程式の左辺の各項の次数は1次である。ここで右辺の定数p及びqが0である場合、方程式に現れる各項全ての次数が1次となる。これを同次と言う。
-一方、定数p及びqが0で無い場合、次数は0次となるので方程式に現れる各項の次数が1次と0次の二種類となる。これを非同次と言う。
-よって方程式に現れる各項の次数によって性質が大きく異なる。例えば連立方程式では同次連立一次方程式、非同次連立一次方程式などがあり、微分方程式では名称が様々あるが、同次線形微分方程式、非同次線形微分方程式などである。

***一般解と特殊解 [#u50d66d9]
-以下のようなn階線形微分方程式について考える。
--$ {a_n(t)}{\frac{d^n g(t)}{dt^n}}+{a_{n-1}(t)}{\frac{d^{n-1} g(t)}{dt^{n-1}}}+\cdots+{a_0(t)} g(t) = f(t) $ 
-$ f(t)=0 $のとき、上記の微分方程式を同次方程式と言う。
-n階線形微分方程式の解は、n解線形微分方程式の特殊解と同次方程式の一般解との一次結合で表される。

***三角関数の法則と性質 [#nbee67e5]
-$ \sin{(\theta+\frac{\pi}{2})} = \cos{\theta} $、$ \cos{(\theta+\frac{\pi}{2})} = -\sin{\theta} $
--この性質は通常は単位円(r=1)上での第1象限での$ \sin{\theta} = \frac{y}{r} $、$ \cos{\theta} = \frac{x}{r} $の定義を拡張し、90度加算した第2象限の座標(-y,x)から求められる。
--しかし波形的な意味の考察から、90度加算することは微分操作と等しいことがわかる。なので$ \sin{(\frac{\pi}{2}+\theta)} = \frac{d}{d\theta}\sin{\theta} = \cos{\theta} $、$ \cos{(\frac{\pi}{2}+\theta)} = \frac{d}{d\theta}\cos{\theta} = -\sin{\theta} $である。ただし$ \tan{\theta} $では成り立たない。
--同様に90度減算することは積分操作に等しいこともわかる。
---$ \sin{(\frac{\pi}{2}-\theta) = \sin{(-(-\frac{\pi}{\2}+\theta))}} = -\sin{(-\frac{\pi}{2}+\theta)} = -\int{\sin{\theta}d\theta} = \cos{\theta} $
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